Konsep Materi, Contoh Soal dan Pembahasan …

Induksi matematika adalah metode deduktif yang digunakan untuk membuktikan apakah suatu pernyataan benar atau salah.

Induksi matematika dapat dibagi menjadi tiga jenis, yaitu deret, pembagian, dan pertidaksamaan.

Anda pasti pernah belajar induksi matematika di SMA. Seperti yang kita ketahui, induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika.

Dalam penerapannya, logika matematika digunakan untuk mempelajari pernyataan-pernyataan yang benar atau salah, ekuivalen atau meniadakan dan menarik kesimpulan.

Konsep Dasar Induksi Matematika

Induksi matematika adalah metode deduktif yang digunakan untuk membuktikan apakah suatu pernyataan benar atau salah.

Dalam prosesnya ditarik kesimpulan berdasarkan kebenaran pernyataan-pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pernyataan-pernyataan khusus juga bisa benar.

Selain itu, variabel dalam induksi matematika juga dianggap sebagai anggota himpunan bilangan asli.

Pada dasarnya, ada tiga langkah dalam induksi matematika untuk membuktikan apakah suatu rumus atau pernyataan bisa benar atau sebaliknya.

Langkah-langkah ini adalah:

• Membuktikan suatu pernyataan atau rumus benar untuk n = 1.
• Asumsikan pernyataan atau rumus benar untuk n = k.
• Membuktikan pernyataan atau rumus yang benar untuk n = k + 1.

Dari langkah-langkah di atas, kita dapat berasumsi bahwa pernyataan harus benar untuk n=k dan n=k+1.

Jenis Induksi Matematika

Ada berbagai macam soal matematika yang dapat diselesaikan melalui induksi matematika.

Oleh karena itu, induksi matematika dibagi menjadi tiga jenis, yaitu deret, pembagian, dan pertidaksamaan.

1. Seri

Pada deret jenis ini, biasanya masalah induksi matematika dijumpai dalam bentuk penjumlahan yang berurutan.

Jadi, dalam soal deret, suku pertama, suku ke-k, dan suku ke-(k+1) harus terbukti benar.

2. Distribusi

Jenis induksi matematika pembagian ini dapat kita temukan dalam berbagai soal yang menggunakan kalimat-kalimat berikut:

• a habis dibagi b
• faktor b dari a
• b membagi a
• beberapa b

Keempat ciri tersebut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan induksi matematika tipe pembagian.

Hal yang perlu diingat adalah, jika bilangan a habis dibagi b maka a = bm di mana m adalah bilangan bulat.

3. Ketimpangan

Jenis pertidaksamaan ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari pada pernyataan.

Ada sifat-sifat yang sering digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan jenis induksi matematika. Properti ini adalah:

• a > b > c ⇒ a > c atau a < b < c ⇒ a < c
• A < b and c > 0 ⇒ ac < bc atau a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
• a < b ⇒ a + c < b + c atau a > b ⇒ a + c > b + c

Contoh Soal Induksi Matematika

Berikut adalah contoh soal agar Anda lebih memahami tentang cara menyelesaikan pembuktian suatu rumus dengan menggunakan induksi matematika.

Baris

Contoh 1

Buktikan bahwa 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Menjawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan bahwa n = (n) benar untuk setiap n ∈ N

langkah pertama :
Akan ditunjukkan bahwa n=(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua :
Asumsikan n=(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N

Langkah ketiga

Akan ditunjukkan bahwa n=(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua sisi dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) benar

Contoh 2

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan persamaan tersebut

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +…+ (2n-1) = n² untuk semua bilangan bulat N ≥ 1.

Menjawab :

Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar 
S1 = 1 = 12  
Langkah Kedua
Asumsikan bahwa n=(k) benar, yaitu 
1 + 3 + 5 +7 +...+ 2(k)-1 = k2 
 1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2
Langkah Ketiga
Buktikan bahwa n=(k+1) adalah benar
1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2 
ingat bahwa   1 + 3 + 5 +7 +...+ (2k-1) = k2 
maka
k2 +  [2(k+1) - 1] = (k+1)2 
k2 +  2k + 1 = (k+1)2  
(k+1)2   =   (k+1)2   
maka persamaan di atas terbukti

Contoh 3

Buktikan itu 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² benar, untuk setiap n bilangan asli

Menjawab :
langkah pertama :
Akan ditunjukkan bahwa n=(1) benar
1 = 1²
Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²k ∈ N

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan bahwa n=(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dari asumsi :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 +...+ (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Jadi, n=(k + 1) juga benar

Distribusi

Contoh 4

Terbukti³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Menjawab :
langkah pertama:
Akan ditunjukkan bahwa n=(1) benar
1³ + 2,1 = 3 = 3,1
Jadi, n=(1) benar

Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
k³ + 2k = 3m, k ∈ NN

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan bahwa n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +2k) + (3k² +3k+3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Karena m adalah bilangan bulat dan k adalah bilangan asli, maka (m + k² + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k² + k + 1), lalu
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, n=(k + 1) benar

ketidaksamaan

Contoh 5

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku n ≥ 2
3^N > 1 + 2n

Menjawab :

langkah pertama:
Akan ditunjukkan bahwa n=(2) benar
3² = 9 > 1 + 2,2 = 5
Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
3^k > 1 + 2k, k ≥ 2

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan bahwa n=(k + 1) juga benar, yaitu
3^k+1 > 1 + 2(k + 1)

3k+1 = 3(3k)
3k+1 > 3(1 + 2k)               (karena 3k > 1 + 2k)
3k+1 = 3 + 6k
3k+1 > 3 + 2k                    (karena 6k > 2k)
3k+1 = 1 + 2k + 2
3k+1 = 1 + 2(k + 1)

Jadi, n=(k + 1) juga benar

Contoh 6

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku n ≥ 4
(n+1)! > 3^N

Menjawab :

langkah pertama:
Akan ditunjukkan bahwa n=(4) benar
(4+1)! > 3⁴
sisi kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120
sisi kanan : 3⁴ = 81
Jadi, n=(4) benar

Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
(k+1)! > 3^k k ≥ 4

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan bahwa n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1 + 1)! > 3^k+1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3k)            (karena (k + 1)! > 3k)
(k + 1 + 1)! > 3(3k)                     (karena k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3k+1

Jadi, n=(k + 1) juga benar

Referensi:

• rum.co.id
• rumrumus.com