Persamaan Nilai Mutlak – Pengertian, Sifat dan Contoh Soal
Definisi Persamaan Nilai Absolut
Persamaan nilai mutlak adalah nilai mutlak suatu bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut di atas titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arah.
Nilai absolut dari angka x juga dapat diartikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis bilangan terlepas dari bagaimana terjadinya. Artinya | x| = 5 memiliki dua solusi.
Hal itu karena ada dua bilangan yang jaraknya di atas 0 adalah 5: x = -5 dan x = 5. Perhatikan gambar garis di bawah ini:
Konsep ini dapat diperluas ke situasi yang melibatkan bentuk aljabar yang terkandung dalam simbol nilai absolut.
Sifat Persamaan Nilai Mutlak
Jika X adalah bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k berarti X = –k atau X = k.
Seperti yang dinyatakan dalam properti persamaan nilai absolut, properti ini hanya dapat diterapkan setelah kami mengisolasi simbol nilai absolut di satu sisi. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Memecahkan Persamaan Nilai Absolut
Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.
Diskusi Pertama kita pisahkan nilai mutlaknya, yaitu membuat simbol nilai mutlak di satu sisi sedangkan suku lainnya kita letakkan di sisi yang lain.
Sekarang perhatikan itu x – 7 adalah “X” pada sifat persamaan nilai absolut, sehingga
Mensubstitusi ke persamaan asli memastikan bahwa himpunan solusinya adalah {4, 10}.
Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, berhati-hatilah untuk tidak memperlakukan simbol nilai absolut seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki solusi x = 10, dan tidak memiliki penyelesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua akhiran.
Persamaan nilai absolut dapat muncul dalam berbagai bentuk. Namun dalam menyelesaikan persamaan ini, kita harus mengisolasi simbol nilai absolut dan kemudian menerapkan sifat-sifat persamaan nilai absolut.
Contoh 2: Memecahkan Persamaan Nilai Absolut
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.
Diskusi Dengan mengisolasi simbol nilai absolut yang baru dan kemudian menerapkan sifat-sifat persamaan nilai absolut, kita dapatkan
Jadi, himpunan solusi dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.
Untuk beberapa persamaan, kita sering membutuhkan sifat perkalian dari persamaan nilai mutlak untuk diselesaikan.
Sifat Perkalian Persamaan Nilai Absolut
Jika A dan B adalah bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.
Perhatikan bahwa jika SEBUAH = –1 maka menurut sifat ini |–B| = |–1||B| = |B|. Secara umum, sifat ini berlaku untuk setiap konstanta SEBUAH.
Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Absolut
Tentukan solusi persamaan: |–2x| + 5 = 13.
Diskusi Seperti pada contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai absolut sebelum kita dapat menerapkan sifat-sifat persamaan nilai absolut.
Contoh Persamaan Nilai Mutlak
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak di bawah ini.
Diskusi:
Bentuk-bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya langkah-langkah penyelesaian nilai mutlak diupayakan dalam bentuk mutlak berada di ruas kiri.
1. Dalam formulir ini ada dua solusi.
x + 5 = 3 , lalu x = 3 – 5 = -2
(**) x + 5 = -3, jadi x = -3 – 5 = -8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}
2. Dalam bentuk ini ada dua solusi.
2x + 3 = 5 , lalu 2x = 5 – 3
2x = 2 <==> x = 1
(**) 2x + 3 = -5 , jadi 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}
3. Perhatikan bentuk aljabar pada tanda mutlak, yaitu x+1. Solusi persamaan nilai absolut ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama adalah untuk kendala x+1>= 0 atau x >= -1
Bagian kedua adalah untuk kendala x+1< 0 atau x < -1
Mari selesaikan.
untuk x >=-1
Persamaan absolutnya dapat ditulis:
(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 – 1
3x = 6
x = 2 (puas, karena kendala >= -1)
(**) untuk x < -1
Persamaan absolutnya dapat ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x – 1 + 2x = 7
x = 7 + 1
x = 8 (tidak puas, karena kendala < -1)
Jadi, himpunan solusinya adalah {2}.
4. Perhatikan bentuk aljabar pada tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama adalah untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua adalah untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari selesaikan.
untuk x >=-4/3
Persamaan absolutnya dapat ditulis:
(3x + 4) = x – 8
3x – x = -8 – 4
2x = -12
x = -6 (tidak puas, karena kendala >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
Persamaan absolutnya dapat ditulis:
-(3x + 4) = x – 8
-3x – 4 = x -8
-3x – x = -8 + 4
-4x = -4
Contoh Soal 2Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
Contoh Soal 2
Contoh Soal 2
Diskusi
:
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 -9 – 7 < x < 9 – 7 2x – 1 >= 7 x >= 4
(**) 2x – 1 <= -7 2x <= -6x <= -3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 or x >= 4}3. Dalam bentuk soal ini, langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah dengan mengkuadratkan kedua sisinya.
perhatikan proses berikut.(x + 3) 2<= (2x – 3) 2
(x + 3)2 – (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) – (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a
2
– b
2
= (a+b)(ab))
x(6 – x) <=0
Karena limitnya <= 0, solusinya adalah x <=0 or x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 or x >= 6}.
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
nomor baris
nomor baris
3x + 1 dan 2x + 4
3x + 1 dan 2x + 4 1. Untuk limit x >= -1/3 ……(1) (3x + 1) – (2x + 4) < 10
3x + 1 – 2x- 4 < 10 -3x – 1 – 2x – 4 < 10
-5x – 5 < 10 -(3x + 1) + (2x + 4) < 10 -3x – 1 + 2x + 4 < 10-x + 3 < 10
-x < 7
x > -7 …….(2) Dari (1) dan (2) irisan penyelesaian diperoleh -7 < x < -2
.Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara mengatasi pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
2x >= 7 + 1
2x >= 8
2x <= -7 + 1
4. Lebih mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai absolut seperti ini menggunakan cara mendefinisikan definisi.
Dari kendala tersebut kita dapat memperoleh batas nilai penyelesaian seperti yang ditunjukkan pada garis bilangan di bawah ini.
keterbatasan nilai
keterbatasan nilai
Dengan garis bilangan ini, pekerjaan dibagi menjadi 3 bagian wilayah pemukiman.
x-3 < 10
x < 13 …….(2)
Dari (1) dan (2) irisan penyelesaian diperoleh
-1/3 <= x < 13
2. Untuk limit -2<= x < -1/3 ……(1)
-(3x + 1) – (2x + 4) < 10
-5x < 15
-x < 3
x > 3 …….(2)
Dari (1) dan (2) persimpangan tidak diperoleh penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.
3. Untuk limit x < -2 ……(1)
Jaring KubusTransformasi GeometriIntegral TrigonometriTeorema PythagorasRumus Deviasi Standar
